Minden ami fizika

Newton törvényei.

A fizika és más tudományok tárgyalásmódjai többé-kevésbé a következ? két alaptípus valamelyikéhez köthet?k.

Az induktív módszer a sok apró kisérleti tényb?l, jelenségb?l felismeri, felépíti e jelenségekben megnyilvánuló közös és általános törvényszer?ségeket - ez pl. a kisérleti fizika módszere. Axiómák összegzik az egyes tudományterületek alapvet? törvényszer?ségeit. Az axiómákat a megfigyelt tények általánosításaként mondjuk ki, s általában nem vezethet?k le, nem vezethet?k vissza alapvet?bb igazságokra. Helyességüket (természettudományokban) a tapasztalat igazolja. A bel?lük lesz?rt következtetések összhangban vannak a megfigyelt tényekkel, s egyetlen tapasztalatokkal ellentmondó következtetést sem tudunk kimutatni. Hagyományosan ezen alaptörvények elnevezése más, más lehet. A h?tan ( Termodinamika ) a f?tétel , elektrodinamika a Maxwell egyenletek elnevezést használja axiómái neveként.

Axiómák az elméleti - deduktív tárgyalásmód kiindulópontjai. A deduktív módszer fordított utat követ, az illet? tudományterület axiómáiból -alaptörvényeib?l- kiindulva, levezeti, származtatja az adott terület speciális esetekre vonatkozó törvényeit, s gyakran új -a kisérleti fizika által még nem vizsgált - jelenségeket is megjósol. E módszer leginkább az elméleti fizikára jellemz?.

A kisérleti fizika oktatása meglehet?sen széleskör? kisérleti, laboratóriumi, demonstrációs eszköztárat igényel az oktató tanszékt?l. A deduktív, elméleti fizika oktatása viszont széleskör?en megalapozott matematikai eszköztárat a hallgatóktól.

Ahol elegend? id? áll rendelkezésre fizika okításra, ott el?ször a kisérleti fizika keretein belül ismertetik meg az illet? terület alapfogalmait, jelenségeit, majd ugyanezen tudományterület axiomatikus - deduktív tárgyalása következik. Jelen kurzus drasztikus id?korlátai nem teszik lehet?vé ezen letisztult tárgyalásmódok követését.

A mechanika élén álló axiómákat Newton törvényeknek nevezzük. Ezeknek a törvényeknek számos jelent?s el?futára volt, azonban máig érvényes összefügg? megfogalmazásukat Newton adta meg 1686-ban.

- Newton I -

Newton els? törvényét esetenként Galilei féle tehetelenségi törvényként is emlegetik.

Az eredeti megfogalmazás szerint: - Minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenesvonalú egyenletes mozgását mindaddig, amig más testek ennek megváltoztatására nem kényszerítik.-

Mozgásállapot alatt a test nyugalmi állapotát ( 0 sebességét ), vagy haladó mozgásának sebességét értjük.

Elegend? meghúzni egy gyorsvonat vészfékét ahhoz, hogy belássuk, ebben a gyorsuló ( lassuló ) rendszerben nem úgy m?ködik a fizika, ahogy azt ez az axióma állítja. Éppen ezért ezt az axiómát kiválasztási axiómának nevezik. Eszerint -

van olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben a magárahagyott testek megtartják eredeti mozgásállapotukat. Ezeket a vonatkoztatási rendszereket inerciarendszerek nek nevezzük.

Ha találtunk egy inerciarendszert, amelyben az I. axióma érvényes, akkor minden más, ehhez a rendszerhez viszonyítva egyenesvonalú, egyenletes transzlációt ( haladó mozgást ) végz? vonatkoztatási rendszer is inerciarendszer. Ezek az inerciarendszerek egyenérték?ek, nincs kitüntetett inerciarendszer. Az egyenérték?ség azt jelenti, hogy a fizikai jelenségek ugyanúgy zajlanak le bennük.

A továbbiakban mindig föltesszük, hogy inerciarendszerben vagyunk, még akkor is, ha ezt külön nem emítjük.

Meg kell jegyeznünk, hogy Newton I. törvényének, kiválasztási axiómaként való beállítása nem Newtontól származik. Ez a viszonylag újkelet? módosítás, az un. Galilei féle relativitási elv, vagy Galilei transzformácó (lásd Newton II után 4) ismeretében válik megalapozottá. Newton maga egy abszolut térben -azaz abszolut vonatkoztatási rendszerben - és abszolut id?ben gondolta érvényesnek törvényeit.

Newton PRINCIPIA-jában a következ? olvasható:

Az abszolut tér magában véve, bármely küls? valamihez való vonatkoztatás nélkül, mindig hasonló és mozdulatlan marad. Az abszolut, igazi és matematikai id?, magában véve és természeténél fogva egyenletesen folyik bármely küls? valamihez való vonatkoztatás nélkül.

Ma már tudjuk, hogy az abszolut id?, és tér, valamint az ezt megtestesít? mindent kitölt?, mindenen áthatoló éter nem létezik.

Newton I. axiómájának egyik mondanivalója az, hogy az egyenesvonalú, egyenletes mozgás a testek valamilyen természetes állapota, vagyis ezen mozgásállapot fenntartásához semmilyen környezett?l származó hatás nem szükséges. Környezett?l származó hatás -ezt kés?bb er?nek nevezzük- ezen mozgásállapot megváltoztatásához szükséges. Ezzel foglalkozik Newton II.

-Newton II - Tömeg és er? bevezetése.

Ha piciny ujjunkkal megpöckölünk egy kisebb pénzérmét, akkor azt látjuk, hogy az elrepül, ha most egy villanymozdonyt pöckölünk meg ujjunkkal, akkor .. nos azt látjuk, hogy a közelít?leg azonos küls? hatásra a különböz? testek, különböz? mérték? reakciót mutatnak. Vannak olyan testek, amelyek kevésbé hajlandóak eredeti mozgásállapotuk megváltoztatására, vagyis nagyobb mértékben ragaszkodnak eredeti mozgásállapotukhoz, s vannak olyanok, amelyek kevésbé. Az olyan testeket, amelyek kevésbé hajlandók mozgásállapotuk megváltoztatására tehetetlenebbnek nevezzük. A tehetetlenség mértékének számszer? jellemzésére a tehetetlen tömeget használjuk.

Ha két testet ugyanazon ``környezet által kifejtett'' hatásnak tesszük ki, akkor a létrejött sebességváltozással mérni (összehasonlítani) tudjuk a testek tömegét. Az id?egység alatti sebességváltozás mértékének a gyorsulást fogadjuk el. Ekkor az egyes testek tehetetlenségét kifejez? tömeg fordítottan arányos az ugyanazon hatás -ezt nevezzük er?nek- által létrehozott gyosrsulással.

$\begin{displaymath}\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{a_{2}}{a_{1}}\end{displaymath}$

E kisérlet legegyszer?bben úgy képzelhet? el, hogy pl. összenyomott rúgó két végére helyezünk egy-egy tömeget. Az elengedett rúgó által szétlökött testek sebességeinek ( amelyek most egyúttal a sebességváltozást is jelentik ) mérése tehát tömegeikre enged következtetni. Ha önkényesen el?írjuk a tömeg egységét, akkor a fentiek alapján már megmérhetjük más testek tömegét. Eredetileg $1 dm^{3}$ Szajnavíz tömegeként definiálták a kg tömegegységet.

Ha ezen kisérleteket többször eljátszuk különböz? testekkel - egyedi testekkel, két test egyesítésével kapott testtel, valamely test szétvágásával kapott testekkel - akkor a tömegr?l a következ?ket ismereteket szerezzük: a testek tömege pozitív skaláris mennyiség, két test egyesítésével kapott új test tömege, a két eredeti test tömegének összege. Az olyan fizikai mennyiségeket, amelyekre ezen összegzési szabály érvényes, extenzív mennyiségeknek nevezzük. Azt is tapasztaljuk, hogy a tömeg megmaradó mennyiségként viselkedik, amely az jelenti, hogy egy test tömege csak akkor, és oly módon változhat meg, hogy hozzáteszünk, vagy elveszünk bel?le.

Mozgásmennyiségnek ( impulzusnak vagy lendületnek is ) nevezzük az $\overrightarrow{I}=m\overrightarrow{v}$ által definiált mennyiséget. Ennek egysége kgm/s. Mozgásállapot megváltozása, az impulzus megváltozásával jár. Newton II. törvényének eredeti szöveges megfogalmazása, és matematikai alakja is erre vonatkozik. - A mozgásmennyiség megváltozása arányos a ható er?vel, és annak irányába mutat -

$\begin{displaymath}\Delta \overrightarrow{I}=\overrightarrow{F}\Delta t \frac{d\vec{I}}{dt}=\overrightarrow{F}\end{displaymath}$

(2)

$\begin{displaymath}m\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=\overrightarrow{F}\end{displaymath}$

(3)

Az eredeti forma az általánosabb, a közismertebb második forma csak állandó tömeg esetén alkalmazható.

Az er? tehát egy, a környezett?l származó hatás, s egy tömegpont csak ezen környezeti hatás következtében változtathatja meg mozgásállapotát.

Az er?k összegzése, az ered? er? bevezetése után /IV. axioma/ újra el?vesszük ezen axiómát.

Newton törvényének (3) alakja egyúttal az er? definíciójául is szolgál. Egységnyi er?, az 1 kg tömeg? testet 1 $m/s^{2}$ gyosulással mozgatja. Ezen egység neve az 1 Newton, vagy röviden 1N.

Galilei relativitási elv, Galilei transzformáció.

A Galilei féle relativitás elve azt mondja ki, hogy egymáshoz képest egyenesvonalú, egyenletes transzlációt (haladó mozgást) végz? vonatkoztatási rendszerek között mechanikai kisérletekkel nem tudunk különbséget tenni, azaz ezek egyenérték?ek.

Mint ahogy sok nevesített fizikai törvény esetében, itt is a névadó Galilei csupán egy állomás volt a törvény fejl?déstörténetében. Már Galilei el?dei is többé-kevésbé körülírták e felismert tötvényszer?séget, s a ma használatos formája sem Galileit?l származik.

Legyen K egy inerciarendszer, ehhez képest a K' rendszer egyenletesen mozog ux sebességgel a közös x, x' tengely mentén. Ha a t=0 id?pontban a két origó egybesett, akkor a K' beli P pont K rendszerbeli x koordinátája a következ?képpen írható föl:

$\begin{displaymath}x=x'+u_{x}t v_{x}=v'_{x}+u_{x} a_{x}=a'_{x}+0\end{displaymath}$

(4)

**Figure:** Galilei Transzformáció
$\resizebox*{6cm}{4.5cm}{\includegraphics{gali.eps}}$

A két rendszerbeli id?mérés azonossága folytán az id?szerint deriválások egyszer?en következnek a koordináta transzformációból. Ezek következménye a gyorsulások egyenl?sége a két rendszerben.

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccccc}a_{x}=a'_{x} & & ma_{x}=ma'_{x} & & F_{x}=F'_{x}\end{array}\end{displaymath}$

Newton II. törvénye szerint ekkor az er?k is megegyeznek (F=ma). Tudjuk, az er?törvény Newton II-be írva adja a mozgásegyenletet, azaz a két rendszerben ugyanazon mozgásegyenletet kapjuk. ez jelenti azt, hogy a mechanikai jelenségek a két rendszerben azonos módon zajlanak le.

Ma már tudjuk, hogy ez a transzformáció, csak a csendes sunyisággal elkövetett extra feltevések mellett igaz. Általában nem igaz az id?mérés azonossága e két rendszerben, s a K' rendszerbeli tömeg sem egyezik a K-bel tömeggel. A klasszikás fizikában el?forduló kis sebességek esetében azonban ezek az extra föltevések jó közelítéssel -de csak közelítéssel- teljesülnek

- Newton III - Hatás, ellenhatás törvénye.

Ezen axiómát az ``er?, ellener?'' törvényeként is szokás emlegetni.

Ha az A test a B testre egy Fab er?t fejt ki, akkor a B test is er?t fejt ki az A testre. Ezen Fba er? azonos nagyságú, de ellentétes irányú az eredeti Fab er?vel.Fontos azt hangsúlyozni, hogy e két er? különböz? testeken hat.

$\begin{displaymath}\overrightarrow{F}_{ab}=-\overrightarrow{F}_{ba}\end{displaymath}$

- Newton IV er?hatások függetlensége, a szuperpozició elve-

Ha az anyagi pont egyidej?leg több hatásnak is ki van téve, azaz több er? hat, akkor együttes hatásuk egyetlen u.n. ered? er?vel helyettesíthet?. Ered? er? az egyes er?k vektori összege.

$\begin{displaymath}\overrightarrow{F}_{e}=\sum ^{n}_{i=1}\overrightarrow{F}_{i}\end{displaymath}$

Az ered?: fogalma a fizikában elég széleskör?en alkalmazott fogalom. Az ered? akármi azt az egyetlen akármit jelenti, amely hatásában helyettesít az akármik szóbanforgó rendszerét. A mondat zavarossága azonnal oldódni látszik, ha az akármi-t az alkalomhoz ill? konkrét fizikai fogalommal helyettesítjük pl. ellenállás, kapacitás, er?, .. stb.

Az ugyanezen néven futó egy másik állítás az er?hatások függetlenségének elve. Eszerint ha az $a$ és $b$ pontszer? testek

$\overrightarrow{F}_{ap}$ valamint

$\overrightarrow{F}_{bp}$ er?ket fejtenek ki a $p$ pontra külön - külön ( a másik távollétében ), akkor egyidej? fellépésük esetén esetén az eredeti

$\overrightarrow{F}_{ap}$ és

$\overrightarrow{F}_{bp}$ er?k nem változnak (?).

Ezen törvény teszi lehet?vé, hogy er?k hogy összegzésével, er?k rendszere helyett egyetlen er?vel az un. ered? er?vel végezzük számításainkat. Legalább ennyire fontos és hasznos ugyanezen törvény visszafelé olvasása is, amely az er?k felbontását teszi lehet?vé. Eszerint bármely er? helyettesíthet? olyan er?kkel, amelyek vektori összege az eredeti er?t szolgáltatja. Klasszikus példa erre egy lejt?re helyezett testre ható nehézségi er? (súlyer?) felbontása a lejt?re mer?leges Fm, és egy lejt?vel párhuzamos Fp összetev?re. Itt a két er? $Fm=mg\cos (\alpha ) Fp=mg\sin (\alpha )$ hatásában helyettesíti a függ?leges mg súlyer?t.

$\resizebox*{7cm}{5cm}{\includegraphics{inclined.eps}}$

Néhány szó neminerciarendszerbeli módosításokról, -tehetetlenségi er?k, - ellener?.

Newton törvényeinek itt említett formái inerciarendszerben érvényesek. Newton II. törvénye nem-inerciarendszerbeli alakjába be kell vennünk olyan, u.n. tehetelenségi er?ket (pl. Coriolis, centrifugális er?k) amelyekre pl. Newton III. ( hatás - ellenhatás ) törvénye nem érvényes. Tudjuk, ez azt állítja, hogy ha az A test hat B testre egy $\vec{F}_{A,B}$ er?vel, akkor a B test ugyanakkora de ellentétes er?t fejt ki A -ra. Ha beülünk egy centrifugába, bizony még azt sem tudjuk megmondani, hogy melyik az az A test amely az un. centrifugális er?t ezen forgó vonatkoztatási rendszerben ránk kifejti, nemhogy mi ill?képpen viszonozzuk ezt valamely $\vec{F}_{B,A}$ er?vel.

Egyszer?bb alkalmazások

A dinamika alapegyenletének is nevezett Newton II-t alkalmazzuk a természetes koordinátarendszerbeli gyorsulás kifejezésre. A pontra ható ered? er?t felbontjuk Ft sebességirányú, és arra mer?leges Fn komponensre:

$\begin{displaymath}\vec{F}_{e}=m\vec{a}=m\dot{v} t+mv\dot{\varphi } n=F_{t}t+F_{n}n\end{displaymath}$

A megfelel? egységvektorok együtthatóinak egyenl?sége alapján kapjuk a következ?ket:

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}\dot{v}=\frac{F_{t}}{m} & & \dot{\varphi }=\frac{F_{n}}{mv}\end{array}\end{displaymath}$

Vagyis az er? tangenciális (pályagörbe irányú vagyis sebességirányú) összetev?je, Ft felel?s a sebesség nagyságának változásáért, a sebességre mer?leges Fn er? pedig a mozgás irányát (és csak azt) változtatja meg. A sebesség nagyságát nem befolyásolja a normális er?komponens, s a tangenciális er? pedig nem változtatja meg a sebesség irányát.